Исследование алгебраических

                                                    

Исследование алгебраических моделей. Приближенное решение уравнений
(Интегрированный урок информатики и математики в 11 классе)
Ирина БУСОВА,
учитель информатики
 I квалификационной категории
 средней школы №31 г. Нижнекамска
Венера ГИРФАНОВА,
учитель математики
 высшей квалификационной категории
 средней школы №31 г. Нижнекамска
 
Цель: способствовать формированию умения находить приближенный корень уравнения, используя возможности компьютера.
Тип урока: изучение нового материала.
Оборудование: компьютер (ноутбук) с установленным приложением Microsoft Office Excel, компьютерная презентация.
Ход урока

1. I. Организационный момент

Учитель. Добрый день, ребята! Проведем это урок с улыбкой и в хорошем настроении.

1. II. Актуализация знаний

Учитель. Вспомним, что такое корень уравнения? (Значение буквы, или значение переменной при котором из уравненияполучается верное числовое равенство, называют корнем уравнения.)
Учитель. Напомните геометрический смысл корня? (Решениями (корнями) квадратного уравнения называют абсциссы точек пересечения графика с осью абсцисс.)
III. Постановка цели и задач урока. Изучение нового
Учитель. Найти точный корень можно лишь для небольшого количества уравнений, таких как линейные, квадратные, тригонометрические, логарифмические и др. Для большинства уравнений используют методы для нахождения приближенного корня с определенной заданной точностью. К таким методам относятся графический метод и численный метод. Графический метод решения уравнений используется для грубого нахождения приближенного уравнения. Итак, тема урока «Исследование алгебраических моделей. Приближенное решение уравнений».
Сегодня мы, используя приложение Microsoft Office Excel, вспомним тему «Построение графиков функций, используя приложение Microsoft Office Excel» и научимся с помощью этой же программы находить приближенный корень, используя средства подбора параметра.
Рассмотрим уравнение f(x)=0, где f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b]. Любое число с такое, что f(с)=0 называется корнем уравнения. Всякое число `х назовем корнем уравнения с точностью e, если | `х–с |e, или с–e`хс+e.
Приближенное решение уравнения состоит из двух шагов:
– отделение корня, т.е. нахождение по возможности малого отрезка [a,b], содержащего ровно один корень;
– уточнение корня до нужной точности.
Отделить корни можно построив график функции y=f(x) или если это затруднительно преобразовать данное уравнение к виду y=g(x) и y=q(x).
Графически нахождения корня уравнения сводиться к определению значение координаты пересечения графика функции с осью ОY. Аналитически  – если на концах отрезка значение функции принимает значения разных знаков, то найдется хотя бы один корень.

1. IV. Первичное закрепление

Учитель. Итак, необходимо найти корень уравнение sin(x)-0,9x+2=0 с точностью e=0,00001. Построим график функции y=sin(x)-0,9x+2.  В данном примере удобнее в одной системе координат построить графики функций y=sin(x) и y=0,9x-2. Координата х точки пересечения двух этих графиков и будет корнем уравнения sin(x)–0,9x+2=0. Для вычисления значений тригонометрических функций необходимо в значениях аргумента тригонометрической функции использовать радианы, а не градусы. Итак, построим графики функций y=sin(x) и y=0,9x–2, как мы выполняли это на уроках математики.
По графику данной функции можем определить, что корень уравнения y=sin(x)-0,9x+2 приближенно принадлежит интервалу (2;4).
Построим график функции y=sin(x)-0,9x+2 .
На данном графике результат аналогичный,  что корень уравнения y=sin(x)-0,9x+2 приближенно принадлежит интервалу (2; 4).  О таблице значений y от соответствующих значений x видно на отрезке [2,5; 3] значение функции y=sin(x)–0,9x+2 меняет знак от «+» к «–», это и означает, что на данном отрезке существует хотя бы один корень. (Учащиеся выполняют данные построения на компьютере используя приложение Microsoft Office Excel (материал учебного предмета «Информатика» 9 класс.)
Учитель. Приступаем ко второму шагу нахождения приближенного решения уравнения. Как видно из проделанного выше графический способ находит корень уравнения очень приближенно. В приложении Microsoft Office Excel есть возможность нахождения приближенного корня уравнения более точного (с меньшей погрешностью) нежели используя графический способ. Воспользуемся функцией «Подбор параметра». Назначение данной функции можно сформулировать так, необходимо найти значение некоторой переменной, чтобы получить известный результат другой переменной. Переформулируя данное предлоңение  под нашу задачу можем сказать следующее: найти значение переменной х, при котором значение переменной  y равняется 0. «Подбор параметра» – это ограниченный по функционалу вариант надстройки «Поиск решения» и является частью блока задач «Анализ «Что-Если».
В приложении Microsoft Office Excel во вкладке «Данные» в поле «Работа с данным» выбираем команду «Анализ «Что-Если», затем «Подбор параметра».
Нам известна формула, по которой необходимо вычислить значение переменной y: y= sin(x)-0,9x+2. В некоторую ячейку вводим данную формулу, делая ссылку на значение переменной х, в которую и будет осуществляться запись значения переменной х.
Обращаю ваше внимание, что в ячейке Е4 значение отсутствует, в этом случае значение х равно 0, соответственно значение y равняется 2. Переходим на вкладку «Данные» и выбираем «Анализ «Что-Если», затем «Подбор параметра».
 В открывшемся диалогом окне «Подбор параметра» в поле «Установить в ячейке» необходимо сделать ссылку на ячейку, где записана формула вычисления значения y, в поле «Значение» необходимо указать то значение, которое должно принимать данная переменная, т.е. ноль и в поле «Изменяя значение ячейки» делаем ссылку на ячейку в которую будет записываться значение х (в нашем случае это ячейка Е4).
Результат работы должен быть следующим:
Значение у представлено в экспоненциальном виде, меняем в «Формате ячейки» на числовой формат с количеством десятичных знаков ноль, т.е. округляем число до целых
.
Результат работы должен быть следующим:
Как видно из рисунка выше, приложение Excel нашло значение х=2,698538538 при котором значение функции y=sin(x)-0,9x+2 принимает значение ноль. Теперь необходимо установить необходимую точность, в нашей задаче e=0,00001 (т.е. пять десятичных знаков)
Получаем результат:
Итак, делаем вывод. Корень уравнение sin(x)-0,9x+2=0 находится на интервале (2;3) (более точно на интервале (2,6; 3), используя возможности приложения Microsoft Office Excel корень уравнения с точностью e=0,00001 равен 2,69854.

1. VI. Вторичное закрепление

Учитель. Самостоятельно решить задачу: найти корень уравнения cos(1,4x)-3x+1,6=0 с точностью e=0,01. При решении задания выполнить отделение корня и его уточнения с заданной точностью. (Учащиеся выполняют задание.)
 
VII. Подведение итогов
Учитель. Итак, корень уравнения различных видов на заданном  интервале более точно можно найти  используя возможности приложения Microsoft Office Excel .
VIII. Домашнее задание
Найти корень уравнения cos(x)+2х-3=0 с точностью e=0,0001.