Тригонометрические уравнения при решении практико-ориентированных задач

Ирина КУЛЬПАНОВА,

учитель математики

I квалификационной категории
Сармановской гимназии

Цель урока: создать условия для усвоения знаний обучающихся и формирования умений применять знания при решении стандартных и творческих задач.

Задача урока

Образовательная: способствовать развитию вычислительных навыков обучающихся, способствовать развитию интереса к математике; умение применять материал на практике и в жизни.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Форма работы: индивидуальная, групповая, фронтальная.

Оборудование и материалы урока: ноутбуки, мультимедийный проектор, экран, презентация к уроку, раздаточный материал.

Ход урока

1. Организационный момент

Приветствие

«Нет области математики, как бы абстрактна она ни была, которая однажды не смогла бы быть применена к явлениям реального мира».

Н.И. Лобачевский

2. Мотивация учебной деятельности обучающихся

Учитель. Какое же отношение имеют тригонометрические уравнения к потребностям жизни? Сегодня тригонометрические уравнения будем рассматривать с необычной стороны, и, возможно, это поможет вам лучше понять их.

3. Актуализация знаний

Учитель. Чтобы вам было легче, давайте вспомним значения тригонометрических углов и решение простейших уравнений. (Устный счет, на слайде.)

1) Вычислите:

а) arcsin 1/2; б) arccos √3/2;
в) arcsin (-√2/2) г) arccos (-1/2)

2) Решите уравнения:

а) sin x = 1; б) cos x = 2;
в) sin x = - 1/ 2 г) 2cos x =
 - √3

– Молодцы! Вы отлично справились с этим заданием!

4. Обобщение и систематизация знаний (подготовка обучающихся к обобщенной деятельности и воспроизведение на новом уровне)

Учитель. Как вы думаете, ребята, в каких профессиях могут применяться тригонометрические уравнения? (Индивидуальные ответы обучающихся.)

– В астрономии (особенно для расчетов положения небесных объектов), когда требуется сферическая тригонометрия; в морской и воздушной навигации; в теории музыки, в акустике, в оптике, в анализе финансовых рынков, в электронике, в теории вероятности, в статистике, в биологии, в медицинской визуализации, например, компьютерной томографии и ультразвуковом исследовании, в аптеках, в химии, в теории чисел, в сейсмологии, в метеорологии и т. д.

5. Применение знаний и умений в новой ситуации

1) В фермерском хозяйстве «Дружба» запланирована заготовка леса для строительства амбара. Для этого лес грузят на сани, и трактор тащит сани с силой F = 40кН, направленной под острым углом α к горизонту. Работа трактора (в килоджоулях) на участке длиной S = 50 м вычисляется по формуле
А = FScos α. При каком максимальном угле α (в градусах) совершенная работа будет не менее 1000 кДж?

Решение:

Для решения необходимо составить что? Нестрогое неравенство 40 *50* cos α ≥ 1000. Но для получения ответа достаточно решить тригонометрическое уравнение:

40 *50* cosα = 1000

сosα= ½ (Чертим тригонометрический круг и находим угол.)

α= 60

Ответ: 60.

2) Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу со скоростью v=3 м/с под острым углом α к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью:

 m = 80 кг — масса скейтбордиста со скейтом, а М = 400 кг — масса платформы. Под каким максимальным углом α (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,25 м/с?

Решение:

Задача снова сводится к решению нестрогого неравенства.

Изобразим решение неравенства графически.

Периодичность косинуса при решении неравенства не учитываем, так как по условию угол α острый. Таким образом, максимальный угол, под которым нужно прыгать, чтобы выполнилось поставленное условие, равен 60 градусам.

Ответ: 60.

Учитель. А что может произойти, если неверно рассчитать угол? (Тяга не выдержит, и трос может оборваться, или, если жесткая сцепка, то произойдет опрокидывание саней.)

6. Контроль усвоения знаний, обсуждение и коррекция допущенных ошибок.

Учитель. Ребята, теперь я предлагаю вам поработать экспертами ЕГЭ. Перед вами решение ученика задания 12 из ЕГЭ по математике профильного уровня и критерии оценивания данного задания. Просмотрите решение и дайте свое экспертное заключение, оцените в 2, 1, 0 баллов.

7. Рефлексия

Учитель. Ребята, у вас у каждого на парте лежит листок, на котором изображен график функции у = cosx, поставьте смайлик в том месте графика, которое отражает ваши ощущения на уроке: чувствовали ли вы себя на гребне волны или же, наоборот, в самой нижней точке. (Индивидуальные ответы.)

8. Домашнее задание.

 Сайт РешуЕГЭ Вариант
№ 54183302

(3 задачи)

https://math-ege.sdamgia.ru/test?id=54183302&nt=True&pub=False