Пути развития математических способностей

Умений и навыков выполнения математических действий по алгоритму, образцу, шаблону недостаточно. Для решения комбинированных неравенств, заданий с параметрами, геометрических задач необходимы умения действовать в нестандартных ситуациях.
Различают обычные «школьные» способности к усвоению математических знаний, к их репродуцированию и самостоятельному применению, а также творческие математические способности, связанные с самостоятельным созданием оригинального и имеющего общественную ценность продукта. Признаки математических способностей учащихся приведены в монографии известного советского психолога
В.А. Крутецкого .
Первое – это способность к обобщению математических объектов, отношений, действий.
Обычным ученикам нужно сопоставить «сходное», сравнить, выполнить специальные упражнения, наконец, учителю – обратить их внимание на тот или иной математический факт. И только после выполнения ряда упражнений с помощью учителя удается сформулировать общее правило. Например, после выполнения нескольких примеров вида 3×5=5×3 учащиеся делают вывод, что от перемены мест множителей произведение не меняется.
Способные учащиеся осуществляют самостоятельное обобщение на основе анализа одного явления.
Каждая конкретная задача рассматривается как представитель конкретного класса однотипных задач. Например, уравнение 3x-2= 5x2 – суть квадратное уравнение, а уравнение sin(x+ )= сводится к решению простейшего тригонометрического уравнения.
Способными учащимися достаточно быстро вырабатывается общий алгоритм решения задач данного типа.
Они обобщают не только быстро, но и широко. Находят существенное и общее в частном, скрытую общность в различных математических объектах. Обобщают методы решения, принципы подхода к решению задач, находят решения нестандартных задач.
Видят, что уравнение 3log2x+5logx–7=0 методом замены переменной сводится к решению квадратного уравнения. Уравнение (sin2x-3sinx-5)√-cosx=0 – это уравнение вида a×b=0, решается с помощью рассуждения «произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысл».
Обобщения осуществляются в сфере числовой и знаковой символики, математических объектов, количественных и пространственных отношений, действий. Высшей формой является способность к обобщению обобщений, так как математические символы, числа уже являются продуктом обобщения.
Следующим признаком является способность к свертыванию процесса математического рассуждения и системы соответствующих действий.
При многократном решении однотипных задач отдельные этапы мыслительного процесса сокращаются и перестают осознаваться, но когда надо, учащийся может их развернуть. Способные учащиеся решают задачу синтетическим методом, обычным ученикам необходим полный анализ ее решения. Происходит постепенное выпадение отдельных звеньев рассуждения. Мыслительный процесс приобретает свернутый вид. Таким образом, при решении задач способные учащиеся быстро переходят к мышлению «свернутыми структурами», «промежуточные» звенья выпадают. Психологи отмечают, что у таких учащихся устанавливается прямая ассоциация между осознанием задачи и выполнением системы действий, а нередко между осознанием задачи и осознанием результата. Они говорят: «Что решать? И так видно». У способных учащихся свернутые ассоциации устанавливаются быстро.
Обычные ученики не всегда могут разобраться в готовых решениях заданий, приведенных в решебниках или на сайтах.
Далее это – гибкость мыслительных процессов.
Этот показатель ввела доктор педагогических наук, психолог Н.А. Мен-
чинская. Он характеризуется подвижностью мыслительных процессов при решении математических задач. А также свободой от шаблонов, трафаретов, свободным переключением от одной умственной операции на другую. Например, такое задание: «Сравнить 2300 и 3200». Решение его заключается в следующем: сравнивать можно степени не только с одинаковыми основаниями, но и с одинаковыми показателями. В учебнике «Арифметика. Геометрия 5» Е.А. Бунимовича, Г.В. Дорофеева, С.Б. Су-
воровой дано такое задание. «Не приводя к общему знаменателю, установить, какая дробь наибольшая: , или ». Для ответа на вопрос учащиеся должны сделать вывод: если нельзя привести к общему знаменателю, то можно попробовать привести к одинаковому числителю.
Основными показателями гибкости мышления являются:
– целесообразное варьирование способов действия;
– легкость перестройки знаний, умений и навыков в соответствии с измененными условиями;
– легкое переключение от одного способа решения к другому.
Например, в задаче «Один из углов равнобедренного треугольника равен 30°. Найти другие углы» учащиеся должны [] увидеть, что она имеет два решения.
Следующий критерий – стремление к ясности, простоте и рациональности решения.
Математик В. Глушков писал: «Цель математики – это всегда получение не какого-нибудь, а именно самого изящного, самого простого решения».
Так, задание «Сравнить a и а2» многие учащиеся решают перебором различных случаев. Ответ не всегда полный, часто ошибочный. Рациональный способ решения состоит в рассмотрении разности а-а2. Знак ее легко определяется методом интервалов.
Еще один показатель – обратимость мыслительного процесса в математическом рассуждении. Способность к быстрому и свободному переключению с прямого на обратный ход мысли.
Психологи выделяют два процесса:
а) установление двусторонних ассоциаций А <–> В в противоположность связей А -> В;
б) обратимость мыслительного процесса в рассуждении, обратное направление мысли от результата продукта к исходным данным. Примерами могут служить переход от прямой теоремы к обратной, использование любой формулы слева направо и наоборот.
Учащиеся обладают способностью быстро перестраивать направленность мыслительного процесса с прямого на обратный ход мысли, свободной обратимостью процесса рассуждения. Формирующиеся при этом связи сразу приобретают обратимый характер.
Приведем некоторые приемы, способствующие развитию математических способностей учащихся.
1. Обобщение и систематизацию знаний по тригонометрии можно осуществить, преобразуя всевозможными способами левую часть неравенства sinх+cosх>0.
2. Развитию математических способностей помогает знакомство с разными методами решения одной и той же задачи. Например, расстояние от точки до плоскости можно найти методом объемов. Этот метод основан на следующей теореме.
Если известен объем пирамиды АВСМ, то расстояние от точки М до плоскости α, содержащей треугольник АВС, вычисляется по формуле P(М, α) = ρ(М, АВС) = . Где V – объем пирамиды, выраженный двумя независимыми способами, а S – площадь треугольника АВС .
Задача, решаемая с применением данного метода.
В правильной треугольной призме АВСА1 В1 С1 стороны основания 6, а боковые ребра 8. Точка D – середина СС1. Найти расстояние от вершины В до плоскости АВ1 D.
3. В учебнике «Геометрия 10» есть задачи на нахождение угла между различными плоскостями. Приведем некоторые из них.
А) Найти угол между плоскостями (А1ВD) и (СС1А). Большинство учащихся решают, находя линейный угол двугранного. Способные учащиеся видят, что можно применить признак перпендикулярности плоскостей.
Б) Найти угол между плоскостями А1МА и ВВ1D, где М – середина ребра D1C1.
При решении этой задачи необходимо решить планиметрическую задачу: в квадрате АВСD найти угол между диагональю ВD и АМ1, где М1 середина DС. Задача имеет не одно решение. Но рациональным является способ, дающий ответ: 0,75π – arktg2.
4. Применение аналогий в обучении математике – еще один способ развития учащихся. Аналогии помогают выдвинуть гипотезу, которая впоследствии может быть проверена.
Рассмотрим задачу. В треугольную пирамиду вписан шар. Найти его радиус.
В планиметрии есть формула, выражающая радиус вписанной в треугольник окружности через его площадь и полупериметр. По аналогии, можно выразить радиус вписанного в пирамиду шара через ее объем и площадь полной поверхности пирамиды, разбивая ее на четыре пирамиды с вершинами в центре шара.
Выявление и развитие математических способностей учащихся – одна из основных задач учителя. Для этого необходимо поддерживать творческую среду для возможности самореализации способных учащихся. Расширить систему внеурочной деятельности. Применять научные методы в преподавании математики: наблюдение и опыт, сравнение, анализ и синтез, обобщение и абстрагирование, классификация.

Кадрия ШАКИРОВА,
доцент кафедры теории и технологий преподавания математики и
информатики Института математики и механики им. Н.И. Лобачевского КФУ, кандидат педагогических наук, заслуженный учитель школы РТ,
почётный работник высшего профессионального образования РФ