Ольга ШАЙДУЛЛИНА,

учитель математики

высшей квалификационной категории

лицея № 131 города Казани

После того как функция составлена, ее необходимо исследовать с помощью производной на экстремальное значение. При этом следует учитывать, что обычно в таких примерах функция существует на конечном промежутке, который определяется геометрией системы и условием задачи.
 

Пример 1

На координатной плоскости в первой четверти задана точка A (a, b). Провести через эту точку прямую, отсекающую треугольник наименьшей площади, ограниченный данной прямой и осями координат.

Ответ: треугольник с наименьшей площадью имеет катеты, равные 2a и 2b. Уравнение прямой составьте сами. (bx+ay–2ab=0)

Пример 2

Равнобедренная трапеция описана вокруг окружности радиуса R (рисунок 2). При каком угле при основании α площадь заштрихованной области будет наименьшей?

Ответ: α = π2 – точка минимума функции S(α). В этом случае трапеция «вырождается» в квадрат. Минимальное значение площади фигуры определяется формулой S_min=R²(4−π).

Пример 3

Окно имеет форму прямоугольника, ограниченного сверху полукругом (рисунок 3). Периметр окна равен P. Определить радиус полукруга R, при котором площадь окна является наибольшей.

Ответ: P²/2(π+4).

Пример 4

В область, ограниченную параболой y = c − x² и осью Ox, вписан прямоугольник, стороны которого параллельны координатным осям и одна сторона лежит на оси Ox. Определить наибольшую площадь прямоугольника.

Ответ: 4√(c/3)³.

Пример 5

Два канала шириной a и b соединяются друг с другом под прямым углом. Определить наибольшую длину бревен, которые можно сплавлять по данной системе каналов.

Ответ: a√8. (знакомая задача, не так ли?)

Пример 6

В эллипс, заданный уравнением x²/a²+y²/b²=1, вписан прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям. Найти стороны прямоугольника с наибольшей площадью.

Ответ: В этом случае прямоугольник с наибольшей площадью представляет собой квадрат со стороной R√2.

Пример 7

Картина высотой a подвешена на стене таким образом, что ее нижний край выше уровня глаз наблюдателя на h единиц. На каком расстоянии x от стены должен находиться наблюдатель, чтобы угол обзора картины был наибольшим?

Ответ: таким образом, оптимальное расстояние от стены для наилучшего обзора картины определяется формулой xha+h. Например, если a=3м и h=2м, то оптимальное расстояние составляет x=23+2=10≈3,16 м.

Пример 8

Две стороны параллелограмма лежат на сторонах заданного треугольника, а одна из его вершин принадлежит третьей стороне. Найти условия, при которых площадь параллелограмма является наибольшей.

Ответ: вписанный в треугольник параллелограмм со сторонами x, y имеет наибольшую площадь при условии x=b/2, y=a/2, где a, b − стороны треугольника. Интересно, что результат не зависит от угла α между сторонами треугольника.

Пример 9

Найти цилиндр с наименьшей площадью поверхности.

Ответ: высота цилиндра с наименьшей площадью поверхности должна быть равна его диаметру, т. е. осевое сечение такого цилиндра представляет собой квадрат.

Пример 10

Определить наибольший объем цилиндра, вписанного в конус с радиусом основания R и высотой H.

Ответ: V_max=4/27*πR²H. Это составляет 4/9 от объема конуса.

Пример 11

Найти конус наибольшего объема, вписанный в шар радиуса R.

Ответ: рассмотрим осевое сечение вписанного в шар конуса. Объем такого конуса равен V=1/3*πr²H=32/81*πR³, что составляет 8/27 от объема шара.

Пример 12

Тело имеет форму цилиндра, основания которого завершаются полусферами. Определить высоту цилиндра H и радиус полусфер R, при которых площадь поверхности при заданном объеме V будет наименьшей.

Ответ: наиболее оптимальной является просто шаровая поверхность без цилиндрической части!

Пример 13

В шар радиусом a вписан цилиндр. Найти радиус основания R и высоту H цилиндра, имеющего наибольший объем.

Ответ: Максимальное значение объема составляет V=πR²H=4πa³/3√3, т. е. меньше объема шара в √3 раз.

Пример 14

Бревно длиной H имеет форму усеченного конуса c радиусами оснований R и r (R>r). Из данного бревна требуется вырезать балку в форме параллелепипеда с квадратным сечением наибольшего объема.

Ответ: параллелепипед, вписанный в усеченный конус, имеет наибольший объем, если его стороны равны x=4R/3, y=HR/3(R−r).

Пример 15

Конус имеет объем V. При каком радиусе основания R и высоте Н площадь боковой поверхности конуса является наименьшей?

Ответ: высота конуса с наименьшей площадью боковой поверхности должна быть в √2 раза больше радиуса основания.

Интересно, каково отношение высоты к радиусу основания такого мегасооружения конусообразной формы как Хан Шатыр? Если площадь боковой поверхности являлась одним из критических факторов при проектировании, то, вероятно, его форма должна быть близка к полученному решению.

Ответ: h=2R, R=69V22π2, h=36Vπ.