Числовые последовательности

Требования ФГОС нового поколения к образовательным результатам полагают оценивать деятельность ученика, педагога и учреждения образования не только по предметным, но и личностным и метапредметным результатам.

Метапредметные результаты – умения и навыки, которые формируются при изучении различных учебных предметов, при реализации разных видов деятельности детей. И задача формирования метапредметных результатов проходит «красной нитью» через все образовательные предметы и внеурочную деятельность. Эти результаты связаны с формированием у детей универсальных способов действий/средств, которыми должен владеть каждый ученик для выполнения современных процессов деятельности, кооперации и коммуникации, применять специфические формы мышления, определяющие лицо современного мира и современной экономики.

Метапредметные результаты опираются на:

          образовательную самостоятельность, основанную на желании и умении школьника искать пути и способы своего развития;

          – образовательную инициативу – умение определять свою образовательную траекторию, создавать необходимые ситуации и адекватно их осваивать;

          – образовательную ответственность – умение принимать решение о моральной и процессуальной подготовленности действовать в нестандартной ситуации.

С позиции учителя математики отмечу, что проще всего следовать принятой методике того или иного УМК. Но согласитесь, что читать диаграммы и графики, составлять инструкции, заполнять пропуски в тестовом упражнении, выдвигать гипотезы и т.п. возможно только в том случае, если такие виды заданий есть в учебном курсе. И не всякий учебник может похвастать разнообразием упражнений с позиции развития умения учиться. Выполняя пару таких заданий, ребята этому не научатся. Такой процесс желательно вести постоянно и системно, может быть, в рамках какого-то специализированного интегрированного курса, либо с помощью занятий по внеурочной деятельности.

Метапредметные образовательные результаты учащихся по умолчанию предлагается формировать, проверять и оценивать каждому учителю уже с начальной школы. Но, как это делать, стандарты умалчивают. Что такое метапредметные образовательные результаты и как они связаны с учебными предметами, из текста стандартов непонятно. Так как же учителям-предметникам обеспечивать достижение метапредметных результатов при изучении математики, физики, химии и других предметов? «Суть метапредметного содержания образования в нынешней версии стандартов не раскрыта», – отметил А.В.Хуторской.

В результате метапредметность образовательных результатов для большинства авторов учебников, методистов, учителей, управленцев образования осталась скрытым требованием. Учителям этот компонент нынешнего стандарта непонятен. С другой стороны, может, это и к лучшему? Будет меньше формального контроля хотя бы в этом направлении.

Остановимся на требованиях к базовым умениям учащихся.

Казалось бы, в начальной школе ребята уже должны иметь способность к самостоятельному и инициативному поиску средств выполнения предлагаемых заданий и к пробе их применения; сформированность самооценки учебных достижений; самоконтроль выполнения отдельных действий, таких как соотнесение средств, условий и результатов выполнения задания; способность содержательного и бесконфликтного участия в совместной учебной работе с одноклассниками как под руководством учителя (общеклассная дискуссия), так и в относительной независимости от учителя (групповая работа); и желание и умение учиться как способность человека обнаруживать, каких именно знаний и умений ему недостает для решения поставленной задачи, находить недостающие знания и осваивать недостающие умения.

Однако практика показывает, что учащиеся V – VII классов бывают сильно озадачены, получая упражнения на применения методов мышления, таких как анализ и синтез, систематизация и классификация, обобщение и конкретизация и др. И учителям среднего звена приходится порой с чистого листа начинать формировать эти умения.

В отношении базовых метапредметов следует отметить, что в каждой дисциплине существует тот минимум понятий, на котором строится весь курс обучения: у филологов – слово, у математиков – числа. Если речь идёт о предмете «математика», наблюдение за числами, или точнее,  наблюдение чисел, является математической предметной деятельностью. Причем результаты наблюдения будут относиться к предмету «математика». В случае, когда результаты наблюдения за числами будут уже находиться вне рамок этой дисциплины, к примеру описывать основы мироздания, тогда это и будут метапредметные результаты. Полагаю, что как раз таким образом и понимали математику Пифагор и Евклид, а не так, как это принято сегодня в школе, когда число есть количество или отношение количества к мере.

Одним из средств формирования метапредметных результатов является наблюдение. Суть процесса наблюдения как метапредметной деятельности в том, что у него есть свои предметные воплощения: естественно-научное наблюдение, историческое наблюдение, математическое наблюдение, рефлексивное самонаблюдение и т.д. Наряду с наблюдением, активно используются эксперимент, опыт, систематизация и классификация.

Отметим, что метапредметность – не только деятельность, но и содержание. В математике как науке и школьной дисциплине понятие «число» входит в метапредметное содержание образования. Поэтому деятельность по изучению такого метапредметного содержания и есть метапредметная образовательная деятельность.

Как раз на метапредметном содержании понятия числа учитель математики и должен обеспечить все условия для организации метапредметной направленности работы ребят. Достигаемый ребенком в результате метапредметной деятельности уровень и учебный продукт дают возможность  проверить и оценить его метапредметные образовательные результаты по отношению к предмету изучения, в данном случае к математике.

На данный момент составители нынешних стандартов рекомендуют учителю математики заниматься несвойственной ему задачей – развивать и оценивать общеучебные виды деятельности учеников и их результаты вне предмета «математика». Понятие числа, как и сам учебный предмет «математика», в этом случае остаётся «за бортом». На наш взгляд, эту неприятность можно преодолеть, совместив эти процессы, и достичь формирования метапредметных результатов через «первокирпичик» математики – понятия «числа»

Практические рекомендации

Приведем некоторые упражнения, которые позволяют не только углублять, но и диагностировать уровень сформированности метапредметных универсальных учебных действий в основной школе.

Тема. Числовые последовательности.

  1. Соблюдение соответствия полученного результата поставленной учебной задаче.

Упражнение 1. Запиши последовательность нечетных двузначных натуральных чисел, кратных девяти.

Комментарий. Проверяется способность «удерживать» все условия поставленной задачи.

Получение неверного ответа (например, 18; 27; 36; 45; 54; 63; 72; 81; 90; 99) говорит о несоответствии полученного результата поставленной учебной задаче  (не выполнено условие «нечетные числа»). А в ответе 9; 27; 45; 63; 81; 99 не учтено условие «двузначные числа»

Пример верного выполнения:  ответ: 27; 45; 63; 81; 99.

 

Упражнение 2. Для форсирования водных преград во время военных действий использовались плоты. При хранении бревен их укладывают, как показано на рисунке. Хватит ли на 9 плотов по 6 бревен в каждом, если в основании такой кладки положено 10 бревен?

Комментарий. Проверяется готовность понять причинно-следственные связи и построить рассуждение в соответствии с учебной задачей. Неверный ответ (например, 55 бревен) является не соответствующим вопросу задачи.

Пример верного выполнения — ответ: да, хватит

 

 
  1. Соотнесение наглядно-образной информации с понятийным аппаратом.

Упражнение 3. Как предложенные ребусы связаны с темой «Числовые последовательности»?

 

     
А) Б) В)

 

Комментарий. Формируется способность соотносить информацию из разгадки ребуса с математическим терминологическим словарем.

Пример верного выполнения — ответ: а) бесконечность, числовые последовательности бывают бесконечные и конечные; б) номер, каждый член последовательности имеет свой порядковый номер; в) сложение, сумма нескольких членов последовательности – это сложение ее элементов

 

Упражнение 4. Определить верную формулу для нахождения понятия, зашифрованного в ребусе

  1)

 

q= хn+1 – хn

2)

 

q= хnхn+1

3)

 

q= хn+1 / хn

       

Комментарий. Формируется не только способность соотности разгадку ребуса с термином, но и найти соответствующую символьную запись – формулу.

Ответ: знаменатель, знаменатель геометрической прогрессии, формула 3).

III.  Планирование, контроль и оценка учебных действий.

Упражнение 5. При выполнении задания ученик, возможно, ошибся. Если есть ошибки, то укажи верный ответ.

«Среди предложенных последовательностей выбери арифметические прогрессии

1) -11;-8;-5;-2; … 2) 5/8; 1; 11/8;… 3) -1/2; 1; -2;… 4) 2; — 3; — 4;…

Ответ: 1) и 4)»

Комментарий. Проверяется готовность осуществить проверку выполненной работы. Причем обнаружение  ошибки в пункте 4) не должно останавливать ученика от дальнейшей проверки всех четырех последовательностей, так как последовательность 2) 5/8; 1; 11/8;… тоже является арифметической прогрессией

Пример верного выполнения —  ответ: 1) и 2)

  1. IV. Использование математической модели представления информации.
  Упражнение 6. Числовая последовательность изображена точками на координатной плоскости. Определите:

 – вид последовательности;

– первый член последовательности;

– разность прогрессии;

– монотонность;

– ограниченность (сверху и снизу);

– сколько элементов положительны?

– начиная с какого номера хn < -55?

 

Комментарий. Проверяется умение «читать график» и использовать информацию для ответа на вопросы.

  1. Овладение логическими действиями и умственными операциями.

Упражнение 7. 2018 год – год 75-летия Сталинградской битвы и битвы на Курской дуге. В таблице приведены сроки обороны городов Советского Союза в Великой Отечественной войне 1941–1945 гг. Определите, какие из представленных чисел образуют некоторую прогрессию, если дополнить почти 500 дней защиты Кавказа.

 

Оборона Брестской

крепости

(22 июня – 21 июля 1941)

Оборона Москвы

(30 сентября 1941 – 8 января 1942)

Оборона Сталинграда (17 июля 1942 – 2 февраля 1943) Битва на Курской дуге (5 июля – 24 августа 1943) Оборона Севастополя (сентябрь 1941 – 9 мая 1942) Блокада Ленинграда

(30 августа 1941 – 27 января 1944)

29 98 197 49 250 871

 

Комментарий. Проверяется адекватный анализ числовых данных, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений и связи предложенных чисел. В предложенном задании прослеживаются межпредметные связи и закрепляется память о великом подвиге наших прадедов

Упражнение 8. В дивизии 4 полка, в каждом полку 4 батальона, в каждом батальоне 4 роты, в которой по 4 взвода. Сколько солдат в каждом подразделении, если в батальоне 640 солдат?

Отметь знаком + неверные высказывания

 – число 640 – первый член последовательности;

 – меньше всего солдат во взводе;

 – самое большое подразделение — дивизия;

 – командир батальона имеет в подчинении столько же солдат, сколько и командир полка;

 – в дивизии около 35000 солдат

Комментарий. Проверяются логические действия анализа, сопоставления имеющихся знаний с высказываниями, навык использования формул и умения различать истинные и ложные суждения. Распространенная ошибка – отмечаются верные, а не ложные утверждения

Верное выполнение —  ответ: ложные высказывания —  1, 4, 5.

  1. Решение коммуникативных задач с использованием речевых средств и информационных технологий.

Упражнение 9. Заполни описание алгоритма перевода бесконечной десятичной периодической дроби 3, (17) в обыкновенную дробь (или смешанное число)

  1. Распишем данное число в виде … (суммы 3+ 0,17+ 0,0017+…)
  2. Рассмотрим последовательность… (сn: 0,17; 1,0017, 0,000017, …)
  3. Это …прогрессия, так как …
  4. Найдем сумму этой бесконечно убывающей прогрессии по формуле …, … ()
  5. Учитывая первое слагаемое, получим… ()

Комментарий. Проверяются понимание математического текста, использование речевых конструкций (терминологического словаря) для продолжения записи операций, входящих в состав учебного действия (алгоритма перевода бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь.

VII. Смысловое чтение.

Упражнение 10. Отметь знаком +, какое судно вышло раньше из Ульяновска. Известно, что в речной порт города Казани причалили одновременно два теплохода из Ульяновска «В.Чкалов» и «Ф.Панферов». Судно «В.Чкалов» двигалось медленнее, чем «Ф.Панферов».

 – Определить нельзя.

 – «В.Чкалов».

 – «Ф.Панферов».

Комментарий. Проверяются навыки смыслового чтения текста математического содержания, логические действия анализа, установления причинно-следственных связей и зависимостей между объектами, их положения в пространстве и времени.

Верное выполнение — ответ: +«В.Чкалов».

Альфия ХАБИБУЛЛИНА,
учитель математики высшей категории лицея №177 г. Казани, кандидат педагогических наук, заслуженный учитель РТ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.