Алгоритмы в обучении математике

В настоящее время одной из центральных идей модернизации системы образования является компетентностный подход. Особенностью компетентностного обучения состоит не в усвоении готового знания, а в том, как прослеживаются условия происхождения данного знания. Учащийся сам формулирует понятия, необходимые для решения учебной задачи, усваивает материал, являясь активным субъектом своего обучения. Учебная деятельность приобретает исследовательский и практико-ориентированный характер. При этом происходит развитие самопознания и самообразования личности.

Использование проблемного обучения на уроках математики помогает вызвать определенную познавательную потребность у учащихся и создать внутренние условия для успешного последующего усвоения материала. Технология проблемного обучения позволяет с помощью проблемных вопросов и учебных задач включить учащихся в исследовательскую деятельность, в том числе с целью открытия и построения алгоритмов, структурно-логических схем для решения предметных задач.

Приведем фрагмент урока математики в VI классе по теме «Масштаб» с использованием учебной задачи, направленной на самостоятельное открытие учениками алгоритма нахождения расстояния между двумя точками.

Вначале учащимся предлагается решить предметную задачу: «Определите время в пути автобуса, следующего из г. Казани в г. Елабугу, если скорость автобуса равна 60 км/ч.». При решении задания учащиеся сталкиваются с необходимостью узнать расстояние от одного города до другого, что определяется с помощью карты Татарстана. (Рис. 1)

           Рис. 1. Карта Татарстана.

В ходе беседы формулируется проблемный вопрос: как определить отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности?

В рассмотренном нами примере масштаб карты равен 1:30000000. Измерим длину отрезка на карте между двумя городами. Длина отрезка равна 6,1 см.

Обозначим длину отрезка на местности (в сантиметрах) буквой x и найдем отношение длины отрезка на карте к длине отрезка на местности: 6,1 : x, которое и будет равно масштабу карты. Значит, 6,1 : x = 1 : 30000000.

Решив полученное уравнение, имеем: x =  = 183000000 (см) = 183000 (м) = 183 (км).

Возвращаясь к исходной задаче, определяем время в пути автобуса: t = ; t = = = 3,05 (ч).

Обобщая решение предметной задачи, учитель ставит перед классом учебную задачу: «Сформулируйте алгоритм (правило) нахождения расстояния между двумя точками на местности с использованием карты». 

После повторного обсуждения шагов исходной задачи итоговый алгоритм представляется в следующем виде:

1) определяем масштаб карты;

2) измеряем длину отрезка на карте между двумя пунктами;

3) обозначаем длину отрезка на местности (в сантиметрах) буквой x и находим отношение длины отрезка на карте к длине отрезка на местности, которое и будет равно масштабу карты;

4) решаем полученное уравнение и находим искомое расстояние.

Большим потенциалом для организации исследовательской работы учащихся с постановкой проблемных учебных задач с целью выявления и формулирования ключевых алгоритмов обладает стереометрический курс (X – XI классы).

Рассмотрим один из вариантов обсуждения на уроках геометрии по теме «Решение геометрических задач с помощью координат», одной из целей которого является вывод учащимися алгоритмов решения задач методом координат.

Первоначально учитель акцентирует внимание учащихся на том, что с помощью координат (методом координат) решаются задачи двух типов:

1-й тип – задачи на нахождение зависимости между элементами данной фигуры;

2-й тип – задачи на составление уравнения данной фигуры, если известны характеристические свойства точек этой фигуры (нахождение уравнения геометрического места точек). Преимущество метода координат состоит в том, что он позволяет кратко записывать формулировки задач или теорем и их решения.

В качестве примера рассмотрим предметную задачу на применение признака перпендикулярности прямой и плоскости и решим ее двумя способами. Учитель предлагает ребятам самостоятельно определить тип рассматриваемой задачи (задача относится к I типу).

Задача. Доказать, что плоскость, проходящая через концы трех ребер куба, исходящих из одной вершины, перпендикулярна диагонали куба, исходящей из той же вершины.

При решении задачи первым способом происходит обсуждение о приведенных в условии задачи геометрических объектах (прямая, плоскость) и их зависимости (отношение перпендикулярности). Возникает необходимость в актуализации признака перпендикулярности прямой и плоскости (если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости). Значит, следует выявить, какая пара пересекающихся прямых, лежащих в плоскости, определяемой концами трех ребер куба, исходящих из одной вершины, перпендикулярна диагонали куба, исходящей из той же вершины. Таким образом, перешли к обсуждению перпендикулярности прямых в пространстве, откуда возникает необходимость в напоминании определения перпендикулярных прямых в пространстве (две прямые в пространстве перпендикулярны, если угол между ними равен ), а также доказательству их перпендикулярности.

Опишем ход доказательства. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая  будет перпендикулярна плоскости  (рис. 2), если .

Докажем, что . Прямая  перпендикулярна плоскости , так как  (как диагонали в грани куба) и  (исходя из того, что прямая  перпендикулярна плоскости верхнего основания куба , а прямая  лежит в этой плоскости). Итак, , значит, , поскольку прямая  лежит в плоскости .

Аналогично доказывается, что .

Имеем:  и . По признаку перпендикулярности прямой и плоскости  , что и требовалось доказать.

                     

Заметим, что приведенный способ доказательства достаточно трудоемкий, требующий четкого представления учениками логического процесса взаимосвязи сужденийМетод координат, в свою очередь, позволяет упростить решение задачи.

Поскольку с координатами учащиеся хорошо знакомы, исходя из планиметрического курса геометрии, то рекомендуется доказательство задачи провести одновременно с обсуждением шагов и выявления алгоритма решения координатным методом.

Перед учащимися ставится учебная задача в виде вопроса: «Как решить задачу методом координат?».

1-й шаг. Осуществляем оптимальный ввод системы координат: выбираем начало координат и направления осей. Обычно в качестве осей координат выбираются прямые, фигурирующие в условии задачи, а также оси симметрии (если таковые имеются) тел, рассматриваемых в задаче. Желательно, чтобы система координат естественным образом определялась условием задачи.

В нашем случае введем систему координат с началом в точке А и направлениями осей вдоль ребер АВ, АD,  соответственно. (Рис. 3)

2-й шаг. Условие задачи переводим с геометрического языка на координатный.

Поскольку в задаче фигурируют прямая  и плоскость , то достаточно определить координаты точек (вершин куба) АС, , , . Пусть длина ребра куба равна а.  Имеем: А(0; 0; 0), С(а; а; 0), (0; 0; а),  (а; 0; а),  (0; а; а).

Поскольку, как и в первом способе решения задачи, необходимо доказать, что  и , значит, нужно задать координаты векторам ,  и . Имеем: (а; а; — а), (а; — а; 0), (а; 0; а).

3-й шаг. Решение задачи проводим с помощью алгебраических вычислений.

Скалярно перемножим векторы  и , а также  и :

, .

Скалярное произведение данных векторов равно нулю, значит, угол между векторами равен .

4-й шаг. Заключение решения задачи интерпретируем в геометрическом виде.

Имеем:  и , отсюда следует:  (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости), что и требовалось доказать.

Далее предлагается ученикам сравнить два способа решения задачи и выбрать из них рациональный. Несомненно, что второй способ более лаконичный, поскольку не требует введения вспомогательных элементов (плоскостей , ) при решении задачи.

Ярким примером для создания проблемной ситуации на уроках геометрии с целью поиска алгоритма решения геометрических задач II типа, задач на нахождение уравнения геометрического места точек, является следующее предметное задание: «Найти геометрическое место точек пространства, расстояние от которых до данной точки А(a; b; c) меньше либо равно R. Чем является данное геометрическое место точек?».

Ход обсуждения решения задачи рекомендуется провести пошагово, вследствие чего и выявится искомый алгоритм.

1-й шаг. Рассмотрим произвольную точку М из множества данного геометрического места точек и зададим ей координаты: М(x; y; z).

2-й шаг. В буквенных выражениях распишем общее свойство геометрического места точек. В нашем случае акцентируется внимание на расстоянии между двумя точками в пространстве А и М, которое меньше либо равно R. Имеем: .

3-й шаг. Выразим через координаты полученное свойство и выполним алгебраические преобразования:

Получили уравнение шара.

Таким образом, изучение математики с использованием учебных задач на открытие алгоритмов и правил способствует достижению эффективности процесса обучения, так как речь идет не просто о передаче системы знаний, формировании универсальных учебных действий, а о развитии учащегося, о его активном включении в образовательный процесс, что соответствует современным целям обучения в школе.

 

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.